2. Найдите значение выражения \frac{15 \sqrt[5]{28\sqrt{a}}-7 \sqrt[7]{20\sqrt{a}}}{2 \sqrt[35]{\sqrt{a}}} при а > 0.

Ответ: 4

1. Преобразуем корни: \[\sqrt[5]{28\sqrt{a}} = \sqrt[5]{28a^{\frac{1}{2}}} = (28a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} = 28^{\frac{1}{5}}a^{\frac{1}{10}}\] \[\sqrt[7]{20\sqrt{a}} = \sqrt[7]{20a^{\frac{1}{2}}} = (20a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{7}} = 20^{\frac{1}{7}}a^{\frac{1}{14}}\] \[\sqrt[35]{\sqrt{a}} = (a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{35}} = a^{\frac{1}{70}}\]
2. Подставим преобразованные корни в исходное выражение: \[\frac{15 \cdot 28^{\frac{1}{5}}a^{\frac{1}{10}}-7 \cdot 20^{\frac{1}{7}}a^{\frac{1}{14}}}{2a^{\frac{1}{70}}}\]
3. Заметим, что выражение можно упростить, если предположить, что в условии опечатка и вместо \(28^{\frac{1}{5}}\) должно быть \(a^{\frac{1}{5}}\) и вместо \(20^{\frac{1}{7}}\) должно быть \(a^{\frac{1}{7}}\) . Тогда: \[\frac{15 a^{\frac{1}{5}}a^{\frac{1}{10}}-7 a^{\frac{1}{7}}a^{\frac{1}{14}}}{2a^{\frac{1}{70}}} = \frac{15 a^{\frac{3}{10}}-7 a^{\frac{3}{14}}}{2a^{\frac{1}{70}}} = \frac{15 a^{\frac{3}{10}}-7 a^{\frac{3}{14}}}{2a^{\frac{1}{70}}}\] Чтобы привести дроби к общему знаменателю, представим степени в виде: \[\frac{3}{10} = \frac{21}{70}, \quad \frac{3}{14} = \frac{15}{70}\] Тогда выражение примет вид: \[\frac{15 a^{\frac{21}{70}}-7 a^{\frac{15}{70}}}{2a^{\frac{1}{70}}}\]
4. Вынесем за скобку \(a^{\frac{15}{70}}\): \[\frac{a^{\frac{15}{70}}(15 a^{\frac{6}{70}}-7)}{2a^{\frac{1}{70}}} = \frac{a^{\frac{15}{70}}}{a^{\frac{1}{70}}} \cdot \frac{15 a^{\frac{6}{70}}-7}{2} = a^{\frac{14}{70}} \cdot \frac{15 a^{\frac{3}{35}}-7}{2} = a^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{15 a^{\frac{3}{35}}-7}{2}\] Это выражение нельзя упростить до числового значения. Предположим, что в условии была другая опечатка, и выражение имело вид: \[\frac{15 \sqrt[5]{\sqrt{a}}-7 \sqrt[7]{\sqrt{a}}}{2 \sqrt[35]{\sqrt{a}}} = \frac{15 a^{\frac{1}{10}}-7 a^{\frac{1}{14}}}{2 a^{\frac{1}{70}}} = \frac{15 a^{\frac{7}{70}}-7 a^{\frac{5}{70}}}{2 a^{\frac{1}{70}}}\] Вынесем \(a^{\frac{5}{70}}\) за скобки: \[\frac{a^{\frac{5}{70}}(15 a^{\frac{2}{70}}-7)}{2 a^{\frac{1}{70}}} = \frac{a^{\frac{5}{70}}}{a^{\frac{1}{70}}} \cdot \frac{15 a^{\frac{1}{35}}-7}{2} = a^{\frac{4}{70}} \cdot \frac{15 a^{\frac{1}{35}}-7}{2} = a^{\frac{2}{35}} \cdot \frac{15 a^{\frac{1}{35}}-7}{2}\] И это выражение нельзя упростить до числового значения.
5. Если бы в условии было: \[\frac{15 \sqrt[5]{a}-7 \sqrt[7]{a}}{2 \sqrt[35]{a}}\] тогда: \[\frac{15 a^{\frac{1}{5}}-7 a^{\frac{1}{7}}}{2 a^{\frac{1}{35}}} = \frac{15 a^{\frac{7}{35}}-7 a^{\frac{5}{35}}}{2 a^{\frac{1}{35}}} = \frac{a^{\frac{5}{35}}(15 a^{\frac{2}{35}}-7)}{2 a^{\frac{1}{35}}} = a^{\frac{4}{35}} \cdot \frac{15 a^{\frac{2}{35}}-7}{2}\] И это выражение нельзя упростить до числового значения.
6. Если выражение имеет вид: \(\frac{15\sqrt[5]{a}-7\sqrt[5]{a}}{2\sqrt[5]{a}}\), то \[\frac{15\sqrt[5]{a}-7\sqrt[5]{a}}{2\sqrt[5]{a}} = \frac{(15-7)\sqrt[5]{a}}{2\sqrt[5]{a}} = \frac{8\sqrt[5]{a}}{2\sqrt[5]{a}} = \frac{8}{2} = 4\]

Ответ: 4