3. Найдите вероятность наступления ровно 5 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p=0,5.

В данной задаче используется формула Бернулли для расчета вероятности k успехов в n независимых испытаниях: $$P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$, где $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ - биномиальный коэффициент, n - количество испытаний, k - количество успехов, p - вероятность успеха в одном испытании. В нашем случае n = 9, k = 5, p = 0,5. Сначала вычислим биномиальный коэффициент: $$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$$ Теперь подставим значения в формулу Бернулли: $$P(5) = 126 \cdot (0.5)^5 \cdot (1-0.5)^{9-5} = 126 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^4 = 126 \cdot (0.5)^9 = 126 \cdot \frac{1}{512} = \frac{126}{512} = \frac{63}{256} \approx 0.246$$ Таким образом, вероятность наступления ровно 5 успехов равна 63/256 или приблизительно 0.246.