3 Найдите величину двугранного угла при ребре основания правильной пирамиды DABC с периметром основания 36/3 и высотой 6√3. D A M C Ответ: B

Решение:

• Основание пирамиды ABC – правильный треугольник, все стороны которого равны.
• Периметр основания равен 36\(\sqrt{3}\), отсюда сторона основания: \(a = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}\).
• Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен: \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{12 \cdot 3}{6} = 6\).
• Высота пирамиды DM = 6\(\sqrt{3}\).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник DMC, где DC – апофема. Тангенс угла DCM (двугранного угла при основании) равен отношению противолежащего катета (высоты DM) к прилежащему катету (радиусу MC): \(\tan(\angle DCM) = \frac{DM}{MC} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\).
• Следовательно, угол DCM равен 30 градусам.