5 Боковые грани 4-угольной пирамиды рав- нонаклонены к основанию под углом 45°. В ос- новании лежит прямоугольник с диагональю, равной 8 см. Площадь полной поверхности пи- см². Найдите аa + b. a(√2+b) рамиды равна а Ответ:

Решение:

• Пусть стороны прямоугольника в основании равны a и b. Диагональ равна 8 см. Тогда: \(a^2 + b^2 = 8^2 = 64\).
• Угол наклона боковых граней к основанию равен 45°, значит, высота пирамиды проецируется в центр прямоугольника. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему: \(S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h\), где P - периметр основания, h - апофема.
• Апофема равна половине диагонали основания, то есть 4 см.
• Площадь основания прямоугольника равна: \(S_{осн} = a \cdot b\).
• Полная поверхность пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a \cdot b + \frac{1}{2} (2a + 2b) \cdot 4 = a \cdot b + 4(a + b)\).
• Дано: \(S_{полн} = a(\sqrt{2} + b)\).
• Приравниваем: \(a \cdot b + 4(a + b) = a(\sqrt{2} + b)\).
• Получаем: \(4a + 4b = a\sqrt{2} + ab\).
• Выразим b через a: \(b = \frac{a\sqrt{2} - 4a}{4 - a}\).
• Подставим в уравнение \(a^2 + b^2 = 64\): \(a^2 + (\frac{a\sqrt{2} - 4a}{4 - a})^2 = 64\).
• Решая это уравнение, находим a = 4 и b = 4.
• Тогда: \(a + b = 4 + 4 = 8\).
• Но, по условию, \(S_{полн} = a(\sqrt{2} + b)\), откуда \(a = 4\sqrt{2}\), а значит площадь основания равна \((4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) = 32\).
• Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = \frac{1}{2} (2 \cdot 4\sqrt{2} + 2 \cdot 4\sqrt{2}) \cdot 4 = 32\sqrt{2}\).
• Тогда: \(S_{полн} = 32 + 32\sqrt{2} = 32(\sqrt{2} + 1)\), значит \(a = 32\), \(b = 1\) и \(a + b = 32 + 1 = 33\).