Решение:

1. Найдём угол \(\angle BOC\).

Угол \(\angle AOC\) является смежным с углом \(\angle BOC\). Сумма смежных углов равна 180 градусам.

\(\angle AOC = 103^\circ\)

\(\angle BOC = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 103^\circ = 77^\circ\)

\(\angle BOC = 77^\circ\)

2. Найдём угол \(\angle DOE\).

Угол \(\angle DOE\) является вертикальным углу \(\angle AOC\). Вертикальные углы равны.

\(\angle DOE = \angle AOC = 103^\circ\)

Ответ: \(\angle BOC = 77^\circ\), \(\angle DOE = 103^\circ\)