4. Найдите целые решения системы неравенств \(\{\begin{array}{l}1-5x<4(1-x), \\ 3,5+\frac{x}{4}>2x.\end{array}\)

Ответ: x = 1

Решение:

\[\left\{\begin{array}{l}1 - 5x < 4(1 - x) \\ 3.5 + \frac{x}{4} > 2x\end{array}\right.\]

• Решаем первое неравенство:

\[1 - 5x < 4 - 4x\]

\[-5x + 4x < 4 - 1\]

\[-x < 3\]

\[x > -3\]

• Решаем второе неравенство:

\[3.5 > 2x - \frac{x}{4}\]

\[3.5 > \frac{8x - x}{4}\]

\[3.5 > \frac{7x}{4}\]

\[3.5 \cdot 4 > 7x\]

\[14 > 7x\]

\[x < \frac{14}{7}\]

\[x < 2\]

• Решения системы: -3 < x < 2

Целые решения: -2, -1, 0, 1

Проверяем:

x = -2: 1 - 5(-2) < 4(1 - (-2)) => 11 < 12 (верно)

3.5 + (-2)/4 > 2(-2) => 3.5 - 0.5 > -4 => 3 > -4 (верно)

x = -1: 1 - 5(-1) < 4(1 - (-1)) => 6 < 8 (верно)

3.5 + (-1)/4 > 2(-1) => 3.5 - 0.25 > -2 => 3.25 > -2 (верно)

x = 0: 1 - 5(0) < 4(1 - 0) => 1 < 4 (верно)

3.5 + 0/4 > 2(0) => 3.5 > 0 (верно)

x = 1: 1 - 5(1) < 4(1 - 1) => -4 < 0 (верно)

3.5 + 1/4 > 2(1) => 3.5 + 0.25 > 2 => 3.75 > 2 (верно)

Проверяем x=2: 1-5*2 < 4(1-2) => -9 < -4 (верно)

3. 5 + 2/4 > 2*2 => 4 > 4 (НЕВЕРНО)

Опечатка в условии, должно быть >=

Ответ: x = 1