1. Найдите третью сторону треугольника и его площадь, если: а) одна из его сторон равна 6, другая равна 10√2, а угол между ними равен 45°; б) одна из его сторон равна 12, другая равна 3√2, а угол между ними равен 135°.

а) Пусть даны стороны треугольника a = 6, b = 10√2 и угол между ними γ = 45°. Тогда по теореме косинусов найдем третью сторону с:

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ) c^2 = 6^2 + (10\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10\sqrt{2} \cdot cos(45°) c^2 = 36 + 200 - 120\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} c^2 = 236 - 120 c^2 = 116 c = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} $$

Площадь треугольника равна:

$$ S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(γ) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10\sqrt{2} \cdot sin(45°) = 30\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30 $$

б) Пусть даны стороны треугольника a = 12, b = 3√2 и угол между ними γ = 135°. Тогда по теореме косинусов найдем третью сторону с:

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ) c^2 = 12^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 3\sqrt{2} \cdot cos(135°) c^2 = 144 + 18 - 72\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) c^2 = 162 + 72 c^2 = 234 c = \sqrt{234} = 3\sqrt{26} $$

Площадь треугольника равна:

$$ S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(γ) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3\sqrt{2} \cdot sin(135°) = 18\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 $$

Ответ: а) 2√29, 30; б) 3√26, 18