Найдите точку минимума функции y = (x - 1,5) sinx + cosx , принадлежащую промежутку (0:2). y=(1-1,5) Sibat sina (x-1.5) -sina = cosx(x-1.5) cosx=0 x-1,5=0 x=1,5

Ответ: 1,5

1. Шаг 1: Находим производную функции

   \[y = (x - 1.5) \sin x + \cos x\]

   \[y' = (x - 1.5)' \sin x + (x - 1.5) \cdot (\sin x)' + (\cos x)'\]

   \[y' = 1 \cdot \sin x + (x - 1.5) \cos x - \sin x\]

   \[y' = \sin x + (x - 1.5) \cos x - \sin x = (x - 1.5) \cos x\]

2. Шаг 2: Приравниваем производную к нулю

   \[(x - 1.5) \cos x = 0\]

   Это уравнение распадается на два случая:

   1. \[\cos x = 0\]

      \[x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z\]

   2. \[x - 1.5 = 0\]

      \[x = 1.5\]

3. Шаг 3: Выбираем корни, принадлежащие промежутку (0; π/2)

   Рассмотрим корни уравнения \[\cos x = 0\]

   \[x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z\]

   При k = 0, \[x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57\] (не входит в интервал, так как интервал (0; π/2) )

   При k = -1, \[x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}\] (не входит в промежуток (0; π/2))

   Теперь рассмотрим корень уравнения \[x - 1.5 = 0\]

   \[x = 1.5\]

   Так как 1.5 ≈ 1.57, то 1,5 входит в промежуток (0; π/2).

4. Шаг 4: Проверяем, является ли x = 1.5 точкой минимума

   Возьмем значения x чуть меньше и чуть больше 1.5 и посмотрим на знак производной:

   При x = 1, \[y'(1) = (1 - 1.5) \cos 1 = -0.5 \cos 1 < 0\]

   При x = 2, \[y'(2) = (2 - 1.5) \cos 2 = 0.5 \cos 2 < 0\]

   Поскольку знак производной не меняется в окрестности точки x = 1.5, то это не точка экстремума.

Ответ: 1,5