Найдите точку минимума функции $$y = x^3 - 3x^2 - 24x + 7$$.

Для нахождения точки минимума функции $$y = x^3 - 3x^2 - 24x + 7$$, необходимо выполнить следующие шаги: 1. Найти производную функции. $$y' = 3x^2 - 6x - 24$$ 2. Найти критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и решим уравнение: $$3x^2 - 6x - 24 = 0$$. Разделим обе части уравнения на 3: $$x^2 - 2x - 8 = 0$$. Разложим квадратный трехчлен на множители: $$(x - 4)(x + 2) = 0$$. Следовательно, $$x = 4$$ или $$x = -2$$. 3. Определить знаки производной на интервалах, образованных критическими точками. Рассмотрим три интервала: $$(-\infty, -2)$$, $$(-2, 4)$$, $$(4, +\infty)$$. * На интервале $$(-\infty, -2)$$, возьмем $$x = -3$$: $$y'(-3) = 3(-3)^2 - 6(-3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0$$, функция возрастает. * На интервале $$(-2, 4)$$, возьмем $$x = 0$$: $$y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 24 = -24 < 0$$, функция убывает. * На интервале $$(4, +\infty)$$, возьмем $$x = 5$$: $$y'(5) = 3(5)^2 - 6(5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0$$, функция возрастает. 4. Определить точку минимума. В точке $$x = 4$$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. В точке $$x = -2$$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума. Ответ: 4