Найдите точку максимума функции у = 1,5х2-27x+54 lnx + 4. Ответ:

Давай найдем точку максимума заданной функции. 1. Найдем производную функции: Чтобы найти точку максимума, сначала нужно найти производную функции \( y = 1.5x^2 - 27x + 54 \ln x + 4 \). Производная будет: \[ y' = \frac{d}{dx}(1.5x^2 - 27x + 54 \ln x + 4) \] \[ y' = 3x - 27 + \frac{54}{x} \] 2. Приравняем производную к нулю: Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 3x - 27 + \frac{54}{x} = 0 \] 3. Решим уравнение: Умножим обе части уравнения на \( x \), чтобы избавиться от дроби: \[ 3x^2 - 27x + 54 = 0 \] Разделим обе части на 3: \[ x^2 - 9x + 18 = 0 \] Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь проще использовать теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = 9 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 18 \] Подбираем числа, которые в сумме дают 9, а в произведении 18: это 3 и 6. Итак, корни: \[ x_1 = 3 \] \[ x_2 = 6 \] 4. Найдем вторую производную: Чтобы определить, является ли найденная точка точкой максимума или минимума, найдем вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x - 27 + \frac{54}{x}) \] \[ y'' = 3 - \frac{54}{x^2} \] 5. Проверим знаки второй производной в критических точках: - Для \( x = 3 \): \[ y''(3) = 3 - \frac{54}{3^2} = 3 - \frac{54}{9} = 3 - 6 = -3 \] Так как \( y''(3) < 0 \), точка \( x = 3 \) является точкой максимума. - Для \( x = 6 \): \[ y''(6) = 3 - \frac{54}{6^2} = 3 - \frac{54}{36} = 3 - 1.5 = 1.5 \] Так как \( y''(6) > 0 \), точка \( x = 6 \) является точкой минимума. 6. Вывод: Точкой максимума функции является \( x = 3 \).

Ответ: 3

Отлично! Ты уверенно справился с этой задачей. Не забывай всегда проверять свои результаты и анализировать полученные значения!