Найдите точки локального экстремума у функции f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Обозначьте точку с меньшей абсциссой через А, а вторую — через В. Тогда A=(0,0), B=(1,1).

Решение:

Для нахождения точек локального экстремума необходимо найти частные производные функции \( f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy \) и приравнять их к нулю.

1. Найдем частные производные первого порядка:
• \( f'_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + y^3 - 3xy) = 3x^2 - 3y \)
• \( f'_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 + y^3 - 3xy) = 3y^2 - 3x \)
2. Приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений:
• \( 3x^2 - 3y = 0 \) → \( y = x^2 \)
• \( 3y^2 - 3x = 0 \) → \( y^2 = x \)
3. Подставим \( y = x^2 \) во второе уравнение:
• \( (x^2)^2 = x \)
• \( x^4 = x \)
• \( x^4 - x = 0 \)
• \( x(x^3 - 1) = 0 \)
4. Из этого уравнения получаем два возможных значения для \( x \):
• \( x = 0 \)
• \( x^3 - 1 = 0 \) → \( x^3 = 1 \) → \( x = 1 \)
5. Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):
• Если \( x = 0 \), то \( y = 0^2 = 0 \). Получаем точку \( (0, 0) \).
• Если \( x = 1 \), то \( y = 1^2 = 1 \). Получаем точку \( (1, 1) \).

Точка с меньшей абсциссой — \( A=(0,0) \), вторая точка — \( B=(1,1) \).

Ответ: A=(0,0), B=(1,1).