Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20 см, а диагонали относятся как 3 : 4.

Пусть диагонали ромба равны $$3x$$ и $$4x$$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому половинки диагоналей равны $$\frac{3x}{2}$$ и $$\frac{4x}{2} = 2x$$. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного половинками диагоналей. По теореме Пифагора: $$(\frac{3x}{2})^2 + (2x)^2 = 20^2$$ $$\frac{9x^2}{4} + 4x^2 = 400$$ $$\frac{9x^2 + 16x^2}{4} = 400$$ $$\frac{25x^2}{4} = 400$$ $$25x^2 = 1600$$ $$x^2 = 64$$ $$x = 8$$ Тогда диагонали ромба равны $$3x = 3 \cdot 8 = 24$$ см и $$4x = 4 \cdot 8 = 32$$ см. Площадь ромба можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба. $$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 32 = 12 \cdot 32 = 384$$ Итак, площадь ромба равна 384 квадратных сантиметра. Ответ: 384 см²