760. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см.

Ответ: 630 см²

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть биссектриса угла A пересекает катет BC в точке D. Тогда BD = 21 см и DC = 35 см.

По свойству биссектрисы угла в треугольнике:

AB / AC = BD / DC

AB / AC = 21 / 35 = 3 / 5

Пусть AC = 5x, тогда AB = 3x.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ABC:

AC² + BC² = AB²

(5x)² + (21 + 35)² = (3x)²

25x² = (3x)² + 56²

25x² = 9x² + 3136

16x² = 3136

x² = 3136 / 16 = 196

x = \(\sqrt{196}\) = 14

Тогда:

• AC = 5x = 5 * 14 = 70 см
• BC = BD + DC = 21 + 35 = 56 см

Площадь треугольника ABC:

S = 0. 5 * AC * BC = 0.5 * 70 * 56 = 35 * 56 = 1960 см²

Площадь треугольника равна 1960 см².

Ответ: 1960 см²