Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см.
Ответ:
Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах биссектрисы в прямоугольном треугольнике и формулах для расчета площади треугольника.
- Обозначения:
- Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
- Биссектриса угла C пересекает гипотенузу AB в точке D.
- AD = 2 см, DB = 6 см.
- AC = b, BC = a (катеты).
- Свойство биссектрисы угла в треугольнике:
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае:
$$ \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB} $$Или:
$$ \frac{b}{a} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$Отсюда следует, что:
$$ b = \frac{1}{3}a $$ - Теорема Пифагора:
Для прямоугольного треугольника ABC:
$$ a^2 + b^2 = AB^2 $$Где AB = AD + DB = 2 + 6 = 8 см.
Подставим b = (1/3)a в теорему Пифагора:
$$ a^2 + (\frac{1}{3}a)^2 = 8^2 $$ $$ a^2 + \frac{1}{9}a^2 = 64 $$ $$ \frac{10}{9}a^2 = 64 $$ $$ a^2 = \frac{9}{10} \cdot 64 = \frac{576}{10} = 57.6 $$ $$ a = \sqrt{57.6} = \sqrt{\frac{576}{10}} = \frac{24}{\sqrt{10}} $$ - Найдем катет b: $$ b = \frac{1}{3}a = \frac{1}{3} \cdot \frac{24}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}} $$
- Площадь треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$$ S = \frac{1}{2}ab $$Подставим значения a и b:
$$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{\sqrt{10}} \cdot \frac{8}{\sqrt{10}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{192}{10} = \frac{192}{20} = 9.6 $$
Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 9.6 см2.
