1. Найдите область определения функции: a) y = (x + 5)-³; 6) y = x²-7x+6

a) y = (x + 5)⁻³

Область определения функции - это все значения x, при которых функция определена, то есть не происходит деления на ноль и извлечения корня из отрицательного числа. В данном случае у нас есть функция y = (x + 5)⁻³, которую можно переписать как $$y = \frac{1}{(x + 5)^3}$$.

Функция не определена, когда знаменатель равен нулю:

$$(x + 5)^3 = 0$$ $$x + 5 = 0$$ $$x = -5$$

Таким образом, область определения функции - все числа, кроме -5.

Ответ: Область определения: $$x \in (-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)$$.

б) y = √(x²-7x+6)

Область определения функции - это все значения x, при которых подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю:

$$x^2 - 7x + 6 \ge 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена:

$$x^2 - 7x + 6 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 7$$ $$x_1 \cdot x_2 = 6$$

Корни: x₁ = 1, x₂ = 6.

Теперь определим знак квадратного трехчлена на интервалах, образованных корнями:

• x < 1: Например, x = 0, тогда $$0^2 - 7(0) + 6 = 6 > 0$$
• 1 < x < 6: Например, x = 2, тогда $$2^2 - 7(2) + 6 = 4 - 14 + 6 = -4 < 0$$
• x > 6: Например, x = 7, тогда $$7^2 - 7(7) + 6 = 49 - 49 + 6 = 6 > 0$$

Таким образом, квадратный трехчлен неотрицателен при x ≤ 1 и x ≥ 6.

Ответ: Область определения: $$x \in (-\infty, 1] \cup [6, +\infty)$$.