3. Найдите область определения функции: 1) y = √3x – x²; 2)y = 4 √4-8x-5x2.

1) Найдем область определения функции $$y = \sqrt{3x - x^2}$$.

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$3x - x^2 \ge 0$$

$$x(3 - x) \ge 0$$

Корни уравнения: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 3$$.

Т.к. коэффициент при $$x^2$$ отрицателен, решением неравенства является интервал между корнями.

Решение: $$x \in [0;3]$$.

2) Найдем область определения функции $$y = \frac{4}{\sqrt{4-8x-5x^2}}$$.

Выражение под квадратным корнем должно быть положительным (т.к. находится в знаменателе):

$$4 - 8x - 5x^2 > 0$$

$$5x^2 + 8x - 4 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$5x^2+8x-4 = 0$$.

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0.4$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$$

Т.к. коэффициент при $$x^2$$ положителен, решением неравенства является интервал между корнями.

Решение: $$x \in (-2; 0.4)$$.

Ответ: 1) $$x \in [0;3]$$; 2) $$x \in (-2; 0.4)$$.