2.6. Найдите нули функции:

1) $$y = x^2 + 1$$

Чтобы найти нули функции, приравняем её к нулю:

$$x^2 + 1 = 0$$ $$x^2 = -1$$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, данное уравнение не имеет действительных решений. Следовательно, функция не имеет нулей.

Ответ: Нулей нет.

2) $$y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$$

Чтобы найти нули функции, приравняем её к нулю:

$$\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1} = 0$$

Это уравнение выполняется, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{x-1} = 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x+1} = 0$$

Решим каждое уравнение:

• $$\sqrt{x-1} = 0$$ $$x-1 = 0$$ $$x = 1$$
• $$\sqrt{x+1} = 0$$ $$x+1 = 0$$ $$x = -1$$

Однако нужно проверить, входят ли эти значения в область определения функции. Область определения определяется условиями:

$$x - 1 \ge 0 \quad \text{и} \quad x + 1 \ge 0$$ $$x \ge 1 \quad \text{и} \quad x \ge -1$$

Оба условия должны выполняться, значит, $$x \ge 1$$.

Значение $$x = 1$$ удовлетворяет условию $$x \ge 1$$, следовательно, является нулём функции.

Значение $$x = -1$$ не удовлетворяет условию $$x \ge 1$$, следовательно, не является нулём функции.

Ответ: $$x=1$$