Найдите наименьшее значение функции y = e2x – 2ex + 8 на отрезке [-2; 1].

Функция $$y = e^{2x} - 2e^x + 8$$ на отрезке [-2; 1].

Введём замену $$t = e^x$$, тогда функция примет вид $$y = t^2 - 2t + 8$$.

Найдём производную функции y.

$$y' = 2t - 2$$.

Приравняем производную к нулю.

$$2t - 2 = 0$$.

t = 1.

Найдём значения функции на концах отрезка и в точке экстремума.

$$y(e^{-2}) = e^{-4} - 2e^{-2} + 8 \approx 0.018 - 2 \cdot 0.135 + 8 = 7.748$$.

$$y(e^{1}) = e^{2} - 2e^{1} + 8 \approx 7.389 - 2 \cdot 2.718 + 8 = 9.953$$.

$$y(1) = 1 - 2 + 8 = 7$$.

Наименьшее значение функция принимает в точке экстремума.

Ответ: 7