Найдите наибольшее значение функции y = -x³ - 3x² + 24x - 4 на отрезке [-5; 1].

Решение:

1. Найдем производную функции:

\( y' = (-x^3 - 3x^2 + 24x - 4)' = -3x^2 - 6x + 24 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -3x^2 - 6x + 24 = 0 \)

Разделим на -3: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

3. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)

4. Критические точки: \( x=2 \) и \( x=-4 \).
5. Из этих точек только \( x=-4 \) принадлежит отрезку \( [-5; 1] \). Точка \( x=2 \) не входит в отрезок.
6. Вычислим значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:

\( y(-5) = -(-5)^3 - 3(-5)^2 + 24(-5) - 4 = -(-125) - 3(25) - 120 - 4 = 125 - 75 - 120 - 4 = -74 \)

\( y(-4) = -(-4)^3 - 3(-4)^2 + 24(-4) - 4 = -(-64) - 3(16) - 96 - 4 = 64 - 48 - 96 - 4 = -88 \)

\( y(1) = -(1)^3 - 3(1)^2 + 24(1) - 4 = -1 - 3 + 24 - 4 = 16 \)

7. Сравним полученные значения: -74, -88, 16. Наибольшее значение равно 16.

Ответ: 16.