7. Найдите меньшее основание прямоугольной трапеции, у которой площадь равна 3150/3, высота равна 30/3, а острый угол равен 30°.

Площадь прямоугольной трапеции вычисляется по формуле:

\[S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h\]

где a и b - основания трапеции (меньшее и большее соответственно), а h - высота.

Нам дано:

S = 3150√3

h = 30√3

Угол равен 30°.

Подставим известные значения в формулу площади трапеции:

\[3150\sqrt{3} = \frac{(a + b)}{2} \cdot 30\sqrt{3}\]

Разделим обе части уравнения на 30\(\sqrt{3}\):

\[\frac{3150\sqrt{3}}{30\sqrt{3}} = \frac{a + b}{2}\] \[105 = \frac{a + b}{2}\]

Умножим обе части на 2:

\[210 = a + b\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции и разностью оснований. В этом треугольнике один из углов равен 30°, а катет, противолежащий этому углу (высота), равен 30\(\sqrt{3}\).

Пусть разность между большим и меньшим основаниями равна x. Тогда:

\[\tan(30°) = \frac{h}{x}\] \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{x}\]

Решим уравнение для x:

\[x = 30\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\] \[x = 30 \cdot 3\] \[x = 90\]

Теперь мы знаем, что разность между большим и меньшим основаниями равна 90:

\[b - a = 90\]

У нас есть два уравнения:

1) a + b = 210

2) b - a = 90

Выразим b из первого уравнения: b = 210 - a

Подставим это во второе уравнение:

\[(210 - a) - a = 90\] \[210 - 2a = 90\] \[2a = 210 - 90\] \[2a = 120\] \[a = 60\]

Теперь найдем b:

\[b = 210 - a = 210 - 60 = 150\]

Меньшее основание равно 60.