Решение уравнений

a) $$\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3$$

ОДЗ: $$x
eq 1, x
eq -1$$. Умножим обе части уравнения на $$(x-1)(x+1)$$.

$$ (3x-9)(x+1) + (x+6)(x-1) = 3(x-1)(x+1) $$ $$ 3x^2 + 3x - 9x - 9 + x^2 - x + 6x - 6 = 3(x^2 - 1) $$ $$ 4x^2 - x - 15 = 3x^2 - 3 $$ $$ x^2 - x - 12 = 0 $$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$ $$ x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1+7}{2} = 4$$ $$ x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1-7}{2} = -3$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = -3$$

б) $$\frac{4y+7}{2y-3} - \frac{y-3}{2y+3} = 1$$

ОДЗ: $$y
eq \frac{3}{2}, y
eq -\frac{3}{2}$$. Умножим обе части уравнения на $$(2y-3)(2y+3)$$.

$$ (4y+7)(2y+3) - (y-3)(2y-3) = (2y-3)(2y+3) $$ $$ 8y^2 + 12y + 14y + 21 - (2y^2 - 3y - 6y + 9) = 4y^2 - 9 $$ $$ 8y^2 + 26y + 21 - 2y^2 + 9y - 9 = 4y^2 - 9 $$ $$ 6y^2 + 35y + 12 = 4y^2 - 9 $$ $$ 2y^2 + 35y + 21 = 0 $$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = 35^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 1225 - 168 = 1057$$ $$ y_1 = \frac{-35 + \sqrt{1057}}{4}$$ $$ y_2 = \frac{-35 - \sqrt{1057}}{4}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$y_1 = \frac{-35 + \sqrt{1057}}{4}, y_2 = \frac{-35 - \sqrt{1057}}{4}$$

в) $$\frac{5}{y+3} - \frac{3}{y} = \frac{2-y}{y^2+3y}$$

ОДЗ: $$y
eq 0, y
eq -3$$. Умножим обе части уравнения на $$y(y+3)$$.

$$ 5y - 3(y+3) = 2 - y $$ $$ 5y - 3y - 9 = 2 - y $$ $$ 2y - 9 = 2 - y $$ $$ 3y = 11 $$ $$ y = \frac{11}{3} $$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $$y = \frac{11}{3}$$