580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме Виета: a) x2 - 15x - 16 = 0; б) m² - 6m - 11 = 0; в) 12x² - 4x - 1 = 0; г) t² - 6 = 0; д) 5х2 - 18x = 0; e) 2y² - 41 = 0.

580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме Виета:

а) $$x^2 - 15x - 16 = 0$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}x_1 + x_2 = 15 \\ x_1 \cdot x_2 = -16\end{cases}$$

Подбором находим корни: $$x_1 = 16, x_2 = -1$$.

Проверка:

$$16 + (-1) = 15$$

$$16 \cdot (-1) = -16$$

б) $$m^2 - 6m - 11 = 0$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}m_1 + m_2 = 6 \\ m_1 \cdot m_2 = -11\end{cases}$$

Найдём корни через дискриминант:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$$

$$m_1 = \frac{6 + \sqrt{80}}{2} = \frac{6 + 4\sqrt{5}}{2} = 3 + 2\sqrt{5}$$

$$m_2 = \frac{6 - \sqrt{80}}{2} = \frac{6 - 4\sqrt{5}}{2} = 3 - 2\sqrt{5}$$

Проверка:

$$m_1 + m_2 = (3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6$$

$$m_1 \cdot m_2 = (3 + 2\sqrt{5}) \cdot (3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$$

в) $$12x^2 - 4x - 1 = 0$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}x_1 + x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \\ x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{12}\end{cases}$$

Найдём корни через дискриминант:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64$$

$$x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$$

Проверка:

$$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$$

г) $$t^2 - 6 = 0$$

$$t^2 = 6$$

$$t_1 = \sqrt{6}, t_2 = -\sqrt{6}$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}t_1 + t_2 = 0 \\ t_1 \cdot t_2 = -6\end{cases}$$

Проверка:

$$\sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$$

$$\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$$

д) $$5x^2 - 18x = 0$$

$$x(5x - 18) = 0$$

$$x_1 = 0, x_2 = \frac{18}{5}$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}x_1 + x_2 = \frac{18}{5} \\ x_1 \cdot x_2 = 0\end{cases}$$

Проверка:

$$0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5}$$

$$0 \cdot \frac{18}{5} = 0$$

е) $$2y^2 - 41 = 0$$

$$2y^2 = 41$$

$$y^2 = \frac{41}{2}$$

$$y_1 = \sqrt{\frac{41}{2}}, y_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}}$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}y_1 + y_2 = 0 \\ y_1 \cdot y_2 = -\frac{41}{2}\end{cases}$$

Проверка:

$$\sqrt{\frac{41}{2}} + (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = 0$$

$$\sqrt{\frac{41}{2}} \cdot (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = -\frac{41}{2}$$

Ответ: а) $$x_1 = 16, x_2 = -1$$; б) $$m_1 = 3 + 2\sqrt{5}, m_2 = 3 - 2\sqrt{5}$$; в) $$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{6}$$; г) $$t_1 = \sqrt{6}, t_2 = -\sqrt{6}$$; д) $$x_1 = 0, x_2 = \frac{18}{5}$$; е) $$y_1 = \sqrt{\frac{41}{2}}, y_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}}$$.