6. Найдите корень уравнения $$\log_4 37 + \log_4(2x-8) = \log_4 74$$

Для решения этого логарифмического уравнения воспользуемся свойством логарифмов: $$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$. Применим это свойство к левой части уравнения: $$\log_4 (37(2x - 8)) = \log_4 74$$. Теперь, так как у нас логарифмы с одинаковым основанием, мы можем приравнять аргументы логарифмов: $$37(2x - 8) = 74$$. Разделим обе части уравнения на 37: $$2x - 8 = 2$$. Решаем полученное уравнение относительно $$x$$: $$2x = 2 + 8$$ $$2x = 10$$ $$x = 5$$. Теперь нужно проверить, что аргумент логарифма $$(2x-8)$$ положителен при $$x=5$$: $$2(5) - 8 = 10 - 8 = 2 > 0$$. Так как условие выполняется, $$x=5$$ является решением уравнения. Ответ: 5