Найдите интеграл: $$\int xe^{-2x} dx$$

Для решения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $$\int u dv = uv - \int v du$$ Выберем $$u$$ и $$dv$$ следующим образом: $$u = x$$ => $$du = dx$$ $$dv = e^{-2x} dx$$ => $$v = \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$$ Теперь подставим в формулу интегрирования по частям: $$\int xe^{-2x} dx = x(-\frac{1}{2}e^{-2x}) - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) dx$$ $$\int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx$$ $$\int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}e^{-2x}) + C$$ $$\int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$$ $$\int xe^{-2x} dx = -\frac{2x}{4}e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$$ $$\int xe^{-2x} dx = -\frac{2x+1}{4}e^{-2x} + C$$ Ответ: $$\int xe^{-2x} dx = -\frac{2x+1}{4}e^{-2x} + C$$