4. Найдите х, при котором числа х – 3, √5х, х + 16 в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию.

Чтобы решить эту задачу, вспомним свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов.

В нашем случае:

\[(\sqrt{5x})^2 = (x - 3)(x + 16)\]

\[5x = x^2 + 16x - 3x - 48\]

\[5x = x^2 + 13x - 48\]

\[x^2 + 8x - 48 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256\]

\[x_1 = \frac{-8 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 16}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{-8 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 16}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]

Проверим корни:

При \[x = 4\]:

\[x - 3 = 4 - 3 = 1\]

\[\sqrt{5x} = \sqrt{5 \cdot 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

\[x + 16 = 4 + 16 = 20\]

Проверим, является ли это геометрической прогрессией:

\[q = \frac{2\sqrt{5}}{1} = 2\sqrt{5}\]

\[q = \frac{20}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\]

При \[x = -12\]:

\[x - 3 = -12 - 3 = -15\]

\[\sqrt{5x} = \sqrt{5 \cdot (-12)} = \sqrt{-60}\] - корень не существует, так как подкоренное выражение отрицательное.

Следовательно, \[x = -12\] не подходит.

У тебя всё получится!