581 Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам а и b: a) a=6, b=8; б) a=5, b=6; в) a = 3/7, b = 4/7; г) a = 8, b = 8√3. 582 В прямоугольном треугольнике а и b – катеты, с – гипотенуза. Найдите b, если: а) а=12, c=13; б) a = 7, c = 9; в) а = 12, c = 2b; г) a = 2√3, c = 2b; д) a = 3b, c = 2√10.

Задание 581

Давай найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам. Будем использовать теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (\(c^2 = a^2 + b^2\)). Значит, гипотенуза (\(c\)) равна квадратному корню из суммы квадратов катетов (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)).

а) a = 6, b = 8

Подставим значения катетов в формулу:

\[c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Гипотенуза равна 10.

б) a = 5, b = 6

Подставим значения катетов в формулу:

\[c = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}\]

Гипотенуза равна \(\sqrt{61}\).

в) \(a = \frac{3}{7}\), \(b = \frac{4}{7}\)

Подставим значения катетов в формулу:

\[c = \sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(\frac{4}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{49} + \frac{16}{49}} = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7}\]

Гипотенуза равна \(\frac{5}{7}\).

г) a = 8, b = 8\(\sqrt{3}\)

Подставим значения катетов в формулу:

\[c = \sqrt{8^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 64 \times 3} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16\]

Гипотенуза равна 16.

Задание 582

Давай теперь найдем катет \(b\) в прямоугольном треугольнике, зная гипотенузу \(c\) и другой катет \(a\). Используем ту же теорему Пифагора, но выразим \(b\): \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\).

а) a = 12, c = 13

Подставим значения в формулу:

\[b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]

Катет b равен 5.

б) a = 7, c = 9

Подставим значения в формулу:

\[b = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{81 - 49} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

Катет b равен \(4\sqrt{2}\).

в) a = 12, c = 2b

Подставим значения в формулу:

\[b = \sqrt{(2b)^2 - 12^2} = \sqrt{4b^2 - 144}\]

Решим уравнение: \(b^2 = 4b^2 - 144\), \(3b^2 = 144\), \(b^2 = 48\), \(b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)

Катет b равен \(4\sqrt{3}\).

г) a = 2\(\sqrt{3}\), c = 2b

Подставим значения в формулу:

\[b = \sqrt{(2b)^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4b^2 - 12}\]

Решим уравнение: \(b^2 = 4b^2 - 12\), \(3b^2 = 12\), \(b^2 = 4\), \(b = 2\)

Катет b равен 2.

д) a = 3b, c = 2\(\sqrt{10}\)

Подставим значения в формулу:

\[b = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - (3b)^2} = \sqrt{40 - 9b^2}\]

Решим уравнение: \(b^2 = 40 - 9b^2\), \(10b^2 = 40\), \(b^2 = 4\), \(b = 2\)

Катет b равен 2.

Ответ: 581 a) 10; б) \(\sqrt{61}\); в) \(\frac{5}{7}\); г) 16; 582 а) 5; б) \(4\sqrt{2}\); в) \(4\sqrt{3}\); г) 2; д) 2

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!