1193 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и в; в) равнобедренного треугольника с основани- ем а и боковой стороной b; г) прямоугольника с меньшей сто- роной а и острым углом α между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24√3 см².

Для решения данной задачи необходимо знать связь между радиусом описанной окружности и сторонами многоугольника, а также использовать формулу длины окружности $$C = 2\pi R$$.

1. а) Для правильного треугольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности равен $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$. Следовательно, длина окружности равна $$C = 2\pi R = 2\pi \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}}$$.

2. б) Для прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$ радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Гипотенуза $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$. Следовательно, радиус $$R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$. Длина окружности равна $$C = 2\pi R = 2\pi \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = \pi \sqrt{a^2 + b^2}$$.

3. в) Для равнобедренного треугольника с основанием $$a$$ и боковой стороной $$b$$ радиус описанной окружности равен $$R = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$$. Тогда длина окружности равна $$C = 2\pi R = 2\pi \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}} = \frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$$.

4. г) Для прямоугольника с меньшей стороной $$a$$ и острым углом $$\alpha$$ между диагоналями, половина диагонали является радиусом описанной окружности. Так как угол $$\alpha$$ острый, то большая сторона $$b = a \cdot ctg(\frac{\alpha}{2})$$, следовательно $$R = \frac{\sqrt{a^2 + a^2 \cdot ctg^2(\frac{\alpha}{2})}}{2} = \frac{a\sqrt{1 + ctg^2(\frac{\alpha}{2})}}{2}$$. Тогда длина окружности равна $$C = 2\pi R = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{1 + ctg^2(\frac{\alpha}{2})}}{2} = \pi a \sqrt{1 + ctg^2(\frac{\alpha}{2})}$$.

5. д) Для правильного шестиугольника площадь которого равна $$24\sqrt{3}$$ см², площадь правильного шестиугольника равна $$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$, где $$a$$ - сторона шестиугольника. Следовательно, $$24\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$, тогда $$a^2 = \frac{24\sqrt{3} \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{48}{3} = 16$$, следовательно $$a = 4$$ см. Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, то есть $$R = a = 4$$ см. Длина окружности равна $$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25.12 \text{ см}$$.

Ответ: а) $$\frac{2\pi a}{\sqrt{3}}$$; б) $$\pi \sqrt{a^2 + b^2}$$; в) $$\frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$$; г) $$\pi a \sqrt{1 + ctg^2(\frac{\alpha}{2})}$$; д) $$8\pi \approx 25.12 \text{ см}$$.