Решение

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов и свойством медианы.

1. Найдем угол $$ABC$$:

$$\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 69° + 42° = 111°$$

2. Пусть $$AM = MC = x$$, так как $$BM$$ - медиана. Применим теорему косинусов к треугольнику $$ABC$$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$$$AC^2 = 13^2 + 20^2 - 2 \cdot 13 \cdot 20 \cdot \cos(111°)$$$$AC^2 = 169 + 400 - 520 \cdot (-0.3584)$$$$AC^2 = 569 + 186.368 \approx 755.368$$$$AC \approx \sqrt{755.368} \approx 27.48$$

3. Теперь найдем $$x$$:

$$x = \frac{AC}{2} = \frac{27.48}{2} \approx 13.74$$

4. Применим теорему косинусов к треугольнику $$ABM$$:

$$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle ABM)$$$$(13.74)^2 = 13^2 + BM^2 - 2 \cdot 13 \cdot BM \cdot \cos(69°)$$$$188.7876 = 169 + BM^2 - 26 \cdot BM \cdot 0.3584$$$$BM^2 - 9.3184 \cdot BM - 19.7876 = 0$$

5. Решим квадратное уравнение относительно $$BM$$:

$$BM = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$$$BM = \frac{9.3184 \pm \sqrt{(-9.3184)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19.7876)}}{2}$$$$BM = \frac{9.3184 \pm \sqrt{86.832 + 79.1504}}{2}$$$$BM = \frac{9.3184 \pm \sqrt{165.9824}}{2}$$$$BM = \frac{9.3184 \pm 12.8834}{2}$$

6. Выбираем положительное значение, так как длина не может быть отрицательной:

$$BM = \frac{9.3184 + 12.8834}{2} = \frac{22.2018}{2} \approx 11.1009$$

Округлим до десятых: $$BM \approx 11.1$$

Ответ: Длина медианы $$BM$$ приблизительно равна 11.1.