Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
593 Найдите: a) sina и tga, если cosa = 1/2; б) sina и tga, если cos a = 2/3; в) cosa и tga, если sin a= √3/2; г) cosa и tga, если sin a = 1/4
Ответ:
Краткое пояснение:
Чтобы найти синус и тангенс угла, зная косинус или синус, можно использовать основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) и определение тангенса \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
Решение:
a) Дано: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \) \[\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\] \[\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\] Так как не указан диапазон для \( \alpha \), рассмотрим оба случая: Если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\] Если \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), то: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}\] б) Дано: \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \) \[\sin^2 \alpha + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\] \[\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}\] Так как не указан диапазон для \( \alpha \), рассмотрим оба случая: Если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \), то: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\] Если \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \), то: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\] в) Дано: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1\] \[\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\] \[\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}\] Так как не указан диапазон для \( \alpha \), рассмотрим оба случая: Если \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \), то: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\] Если \( \cos \alpha = -\frac{1}{2} \), то: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}\] г) Дано: \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \) \[\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1\] \[\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\] \[\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}\] Так как не указан диапазон для \( \alpha \), рассмотрим оба случая: Если \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} \), то: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}\] Если \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4} \), то: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}\]Проверка за 10 секунд: Основное тригонометрическое тождество всегда выполняется, если угол один и тот же.
Редфлаг: Не забывай учитывать знаки синуса и косинуса в разных квадрантах, чтобы правильно определить знак тангенса.
Похожие
