Найдите \(\sin 2\alpha\), если \(\cos \alpha = -\frac{5}{\sqrt{14}}\, \alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\).

Пошаговое решение:

• Формула синуса двойного угла: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\).
• Основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
• Найдём \(\sin \alpha\): \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{\sqrt{14}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{14} = \frac{14 - 25}{14} = \frac{-11}{14}\).
• Так как \(\alpha \in (\frac{\pi}{2}; \pi)\), то \(\sin \alpha > 0\), но найденное значение квадрата синуса отрицательное, что невозможно. Вероятно, в условии ошибка. Если бы \(\cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{14}}\), то:
• \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{\sqrt{14}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{14} = \frac{14 - 9}{14} = \frac{5}{14}\).
• \(\sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{14}}\) (так как \(\alpha\) во второй четверти, \(\sin \alpha\) положителен).
• Теперь найдём \(\sin 2\alpha\): \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \sqrt{\frac{5}{14}} \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{14}}\right) = -\frac{6 \sqrt{5}}{14} = -\frac{3 \sqrt{5}}{7}\)

Ответ: -\(\frac{3 \sqrt{5}}{7}\) (при условии, что \(\cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{14}}\))