15. На стороне АС треугольника АВС отмечены точки D и Е так, что AD = СЕ. Докажите, что если BD = BE, TO AB = BC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CBE$$.

Из условия задачи известно, что $$AD = CE$$ и $$BD = BE$$.

Так как $$BD = BE$$, то треугольник $$BDE$$ - равнобедренный, следовательно углы при основании $$DE$$ равны: $$\angle BDE = \angle BED$$.

Углы $$BDA$$ и $$BEC$$ смежные с углами $$BDE$$ и $$BED$$ соответственно. Так как $$\angle BDE = \angle BED$$, то и смежные с ними углы равны: $$\angle BDA = \angle BEC$$.

Теперь мы можем утверждать, что треугольники $$ABD$$ и $$CBE$$ равны по двум сторонам и углу между ними ($$AD = CE$$, $$BD = BE$$, $$\angle BDA = \angle BEC$$).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть $$AB = BC$$.

Что и требовалось доказать.