25 На стороне АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке Р. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 4 и ВР: ВА = 9 : 25.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90 градусов. На стороне AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке P.

AC = 4, BP : BA = 9 : 25

Требуется найти площадь треугольника ABC.

Поскольку AC - диаметр окружности, а точка P лежит на окружности, то угол APC - прямой, то есть APC = 90 градусов. Значит, CP - высота треугольника ABC.

Пусть BP = 9x, тогда BA = 25x.

Тогда AP = BA - BP = 25x - 9x = 16x.

Треугольники ABC и APC подобны по двум углам (угол A общий, угол C = углу P = 90 градусов).

Тогда AC / AP = AB / AC

AC^2 = AB * AP

4^2 = 25x * 16x

16 = 400x^2

x^2 = 16 / 400 = 4 / 100 = 1 / 25

x = 1 / 5 = 0.2

Тогда AB = 25x = 25 * 0.2 = 5

AP = 16x = 16 * 0.2 = 3.2

BP = 9x = 9 * 0.2 = 1.8

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9

BC = 3

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AC * BC = (1/2) * 4 * 3 = 6

Ответ: 6