544 На стороне AD прямоугольника АВСD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ И DE пересекают отрезок ВС в точках М и №, причем точка М - середина отрезка АЕ. Докажите, что SABCD = SADE.

Доказательство:

Пусть ABCD - прямоугольник, ADE - треугольник, M и N - точки пересечения сторон AE и DE с отрезком BC, и M - середина отрезка AE.

Площадь прямоугольника ABCD равна $$S_{ABCD} = AD \cdot DC$$.

Площадь треугольника ADE равна $$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$$, где h - высота треугольника, опущенная из вершины D на сторону AE.

Так как M - середина AE, то $$AM = \frac{1}{2} AE$$.

Поскольку AE пересекает BC в точке M, то высота прямоугольника DC равна высоте треугольника ADE, опущенной из вершины D на сторону AE, то есть $$DC = h$$.

Так как ABCD прямоугольник, то AD = BC. Так как ADE - треугольник, построенный на стороне AD прямоугольника, то $$BC = AD \Rightarrow AD = h$$.

Высота треугольника ADE равна длине стороны AD прямоугольника ABCD, то есть $$h = AD$$.

Тогда $$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AD$$.

Так как $$AD \cdot DC$$ - площадь прямоугольника и $$\frac{1}{2} \cdot AE \cdot AD$$ - площадь треугольника, то, чтобы их площади были равны, необходимо, чтобы $$DC = \frac{1}{2} AE$$

Т.к. $$AE = 2AM$$ и $$DC=h$$, то $$DC = \frac{1}{2} \cdot AE = AM$$.

Т.к. точка M - середина отрезка AE, то $$AM = ME$$.

Треугольники АВМ и EDC - равны по общей стороне AD, $$AM=ME$$, следовательно, площади треугольника ADE и прямоугольника ABCD равны.

Ответ: Доказано, что $$S_{ABCD} = S_{ADE}$$.