Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 3.

Решение:

При броске игральной кости возможны 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Число, меньшее 3, это 1 и 2. Вероятность выпадения числа, меньшего 3, при одном броске равна \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Вероятность выпадения числа, не меньшего 3 (т.е. 4, 5, 6), равна \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Броски независимы. Рассмотрим случаи, когда хотя бы раз выпало число, меньшее 3:

• Первый бросок — число меньше 3, второй — число не меньше 3: \( P_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).
• Первый бросок — число не меньше 3, второй — число меньше 3: \( P_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \).
• Оба броска — число меньше 3: \( P_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).

Вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 3, равна сумме этих вероятностей:

\[ P = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{2}{6} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9} \]

Альтернативный способ:

Вероятность того, что ни разу не выпадет число, меньшее 3 (то есть каждый раз выпадает число 4, 5 или 6), равна \( \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Вероятность того, что хотя бы раз выпадет число, меньшее 3, равна 1 минус вероятность того, что ни разу не выпадет число, меньшее 3:

\[ P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Примечание: В решении допущена ошибка. Повторный анализ.

Вероятность выпадения числа, меньшего 3, при одном броске равна \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).

Вероятность выпадения числа, не меньшего 3, при одном броске равна \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Вероятность того, что ни разу не выпадет число, меньшее 3, равна \( \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \).

Вероятность того, что хотя бы раз выпадет число, меньшее 3, равна \( 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \).

Ответ: \( \frac{5}{9} \).