На сторонах угла D отмечены точки M и K так, что DM = DK. Точка P лежит внутри угла D, и PK = PM, Докажите, что луч DP – биссектриса угла MDK.

Рассмотрим треугольник DMK. Так как DM = DK, то треугольник DMK – равнобедренный с основанием MK.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠DMK = ∠DKM.

Рассмотрим треугольники DMP и DKP. У них:

• DM = DK (по условию)
• PM = PK (по условию)
• DP – общая сторона

Следовательно, треугольники DMP и DKP равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников DMP и DKP следует равенство соответствующих углов. Значит, ∠MDP = ∠KDP.

Так как ∠MDP = ∠KDP, то луч DP делит угол MDK пополам, то есть является биссектрисой угла MDK.