На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки М и К так, что СМ: MD-2:5, AK: KD = 1 : 2. Выразите вектор МК через векторы АВ= а и AD = .

Решение:

Пусть \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\]. Тогда \[\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}\].

Из условия \[CM:MD = 2:5\] следует, что \[\overrightarrow{CM} = \frac{2}{7}\overrightarrow{CD} = \frac{2}{7}\overrightarrow{a}\].

Также \[\overrightarrow{MD} = \frac{5}{7}\overrightarrow{CD} = \frac{5}{7}\overrightarrow{a}\].

Из условия \[AK:KD = 1:2\] следует, что \[\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{b}\].

Теперь выразим вектор \[\overrightarrow{MK}\] через известные векторы:

\[\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AK}\]

Так как \[\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{CM} - (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = -\frac{2}{7}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = -\frac{9}{7}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\]

Следовательно, \[\overrightarrow{MK} = -\frac{9}{7}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} = -\frac{9}{7}\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\]

Ответ: \(\overrightarrow{MK} = -\frac{9}{7}\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)