Даны точки М (-2;-4). P (4:4), K (-1; 3). Найдите: 1) координаты векторов МК и РМ; 2) модули векторов МК и РМ; 3) координаты вектора EF = 2MK-3PM; 4) скалярное произведение векторов МК и РМ; 5) косинус угла между векторами МК и РМ.

Решение:

1. 1) Координаты векторов \[\overrightarrow{MK}\] и \[\overrightarrow{PM}\]:

   \[\overrightarrow{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M) = (-1 - (-2); 3 - (-4)) = (1; 7)\]

   \[\overrightarrow{PM} = (x_M - x_P; y_M - y_P) = (-2 - 4; -4 - 4) = (-6; -8)\]

2. 2) Модули векторов \[\overrightarrow{MK}\] и \[\overrightarrow{PM}\]:

   \[|\overrightarrow{MK}| = \sqrt{(1)^2 + (7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]

   \[|\overrightarrow{PM}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

3. 3) Координаты вектора \[\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{MK} - 3\overrightarrow{PM}\]:

   \[2\overrightarrow{MK} = 2(1; 7) = (2; 14)\]

   \[3\overrightarrow{PM} = 3(-6; -8) = (-18; -24)\]

   \[\overrightarrow{EF} = (2 - (-18); 14 - (-24)) = (20; 38)\]

4. 4) Скалярное произведение векторов \[\overrightarrow{MK}\] и \[\overrightarrow{PM}\]:

   \[\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{PM} = (1 \cdot (-6)) + (7 \cdot (-8)) = -6 - 56 = -62\]

5. 5) Косинус угла между векторами \[\overrightarrow{MK}\] и \[\overrightarrow{PM}\]:

   \[cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{MK}| \cdot |\overrightarrow{PM}|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}} = \frac{-31\sqrt{2}}{50}\]