3. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмечены точки Т, Р, М соответственно; \( \angle MPC = 51^\circ\), \( \angle ABC = 52^\circ\), \( \angle ATM = 52^\circ\). а) Найдите угол ТМР. б) Докажите, что прямые МР и ВТ имеют одну общую точку.

Решение: а) Чтобы найти угол TМР, рассмотрим треугольник ВРС. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол ВСP равен: \( \angle BCP = 180^\circ - \angle MPC - \angle ABC\) = 180° - 51° - 52° = 77°. Теперь рассмотрим треугольник АВС. Угол ВАС равен: \( \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCP\) = 180° - 52° - 77° = 51°. В треугольнике АТМ угол АТМ равен 52°, а угол ВАС равен 51°. Значит, угол АМТ равен: \( \angle AMT = 180^\circ - \angle ATM - \angle BAC\) = 180° - 52° - 51° = 77°. Теперь найдем угол ТМР. Углы АМТ и ТМР смежные, поэтому их сумма равна 180°: \( \angle TMP = 180^\circ - \angle AMT\) = 180° - 77° = 103°. **Ответ: \( \angle TMP = 103^\circ\)** б) Чтобы доказать, что прямые МР и ВТ имеют одну общую точку, нужно доказать, что они пересекаются. Прямые пересекаются, если они не параллельны. Чтобы доказать, что они не параллельны, можно доказать, что углы, образованные этими прямыми и какой-нибудь секущей, не удовлетворяют условиям параллельности прямых. Рассмотрим углы МРС и ТВС. Угол МРС равен 51°, а угол ТВС равен 52°. Так как эти углы не равны, то прямые МР и ВТ не параллельны, следовательно, они пересекаются и имеют одну общую точку.