25. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку К. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, AD и BC - основания, K - точка на средней линии MN.

Докажем, что $$S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Обозначим высоту трапеции как h, тогда высота каждого из треугольников BKC и AKD равна $$ \frac{h}{2}$$.

Площадь треугольника BKC:

$$S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{BC \cdot h}{4}$$

Площадь треугольника AKD:

$$S_{AKD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD \cdot h}{4}$$

Сумма площадей треугольников:

$$S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{BC \cdot h}{4} + \frac{AD \cdot h}{4} = \frac{(BC + AD) \cdot h}{4}$$

Площадь трапеции ABCD:

$$S_{ABCD} = \frac{(BC + AD) \cdot h}{2}$$

Тогда:

$$\frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(BC + AD) \cdot h}{2} = \frac{(BC + AD) \cdot h}{4}$$

Следовательно,

$$S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано