19. На рисунке с размером клетки 1x1 изображен параллелограмм ABCD. Используя рисунок, найдите sin∠BDC.

Сначала найдем координаты точек: B(2;4), D(0;0), C(4;0). Тогда векторы $$\vec{DB} = (2, 4)$$ и $$\vec{DC} = (4, 0)$$. Длина вектора $$\vec{DB} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$. Длина вектора $$\vec{DC} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$. Координаты вектора $$\vec{BC} = (4-2, 0-4) = (2, -4)$$. Длина вектора $$\vec{BC} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$. Теперь можно найти косинус угла \(\angle BDC\) по теореме косинусов для треугольника BDC: $$BC^2 = DB^2 + DC^2 - 2 cdot DB cdot DC cdot \cos(\angle BDC)$$ $$20 = 20 + 16 - 2 \cdot \sqrt{20} \cdot 4 \cdot \cos(\angle BDC)$$ $$0 = 16 - 8\sqrt{20} \cos(\angle BDC)$$ $$8\sqrt{20} \cos(\angle BDC) = 16$$ $$\cos(\angle BDC) = \frac{16}{8\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ Теперь найдем синус угла \(\angle BDC\), используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(\angle BDC) + \cos^2(\angle BDC) = 1$$ $$\sin^2(\angle BDC) = 1 - \cos^2(\angle BDC) = 1 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$ $$\sin(\angle BDC) = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ **Ответ: $$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$**