На рисунке изображён график функции f(x) = -x² + bx + c. Найдите значения x, при которых f(x) = -65.

Краткое пояснение:

Решение:

1. Анализ графика:
• График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, что соответствует отрицательному коэффициенту при x² (что совпадает с условием f(x) = -x² + bx + c).
• Из графика видно, что вершина параболы находится в точке (3, 41).
• Также видно, что график проходит через точку (0, 32).
2. Определение коэффициентов b и c:
• Используем формулу для вершины параболы: \( x_{верш} = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( a = -1 \), \( x_{верш} = 3 \).
• \( 3 = -\frac{b}{2(-1)} \)
• \( 3 = \frac{b}{2} \)
• \( b = 6 \)
• Теперь найдем c, используя точку (0, 32) или вершину (3, 41). Подставим точку (0, 32) в уравнение \( f(x) = -x^2 + 6x + c \):
• \( 32 = -(0)^2 + 6(0) + c \)
• \( 32 = c \)
• Итак, уравнение функции: \( f(x) = -x^2 + 6x + 32 \).
3. Решение уравнения f(x) = -65:
• Подставим f(x) = -65 в уравнение функции:
• \( -65 = -x^2 + 6x + 32 \)
• Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \( x^2 - 6x - 32 - 65 = 0 \)
• \( x^2 - 6x - 97 = 0 \)
• Найдем дискриминант (D): \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-97) = 36 + 388 = 424 \).
• Найдем корни уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
• \( x = \frac{6 \pm \sqrt{424}}{2} \)
• \( \sqrt{424} = \sqrt{16 \cdot 26.5} \) - здесь похоже, что либо на графике точки не точно определены, либо число -65 не совсем подходит для получения красивого ответа. Давайте перепроверим вершину.
• Координата y вершины = \( f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 32 = -9 + 18 + 32 = 9 + 32 = 41 \). Это совпадает с графиком.
• Давайте предположим, что в условии опечатка и f(x) равно другому значению, которое даст более простое решение, или что мы должны просто подставить -65.
• Если мы продолжим с \( x = \frac{6 \pm \sqrt{424}}{2} \), то:
• \( x_1 = \frac{6 + \sqrt{424}}{2} = 3 + \sqrt{106} \)
• \( x_2 = \frac{6 - \sqrt{424}}{2} = 3 - \sqrt{106} \)
• \( \sqrt{106} \approx 10.3 \)
• \( x_1 \approx 3 + 10.3 = 13.3 \)
• \( x_2 \approx 3 - 10.3 = -7.3 \)
• *Примечание: Если задача предполагает целочисленные ответы, возможно, значение -65 было выбрано некорректно, или на графике неточно определены точки.*
• *Если мы предположим, что на графике есть точки ( -7, -65 ) и ( 13, -65 ), то это будет соответствовать решению.*

Ответ: $$3 \pm \sqrt{106}$$