5. На рисунке ABCD - прямоугольник, DH перпендикулярен AC, сторона AB в 2 раза меньше стороны BC. Найдите DH, если AC = 10.

Обозначим стороны прямоугольника AB = x и BC = 2x. Тогда диагональ \(AC\) найдется по теореме Пифагора: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). Подставляем значения: \(10^2 = x^2 + (2x)^2\). Решаем: \(100 = x^2 + 4x^2 = 5x^2\). \(x^2 = 20\), \(x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Теперь для треугольника \(DHA\) \(DH\) является высотой, и ее находим через площадь: \(S_{\triangle} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 20\). \(S_{\triangle} = \frac{1}{2} AC \cdot DH\), откуда \(DH = \frac{20}{10} = 2\). Ответ: \(DH = 2\).