На рисунке 68 точка O - центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD.

Решение: 1. Так как O - центр окружности, то OB и OC - радиусы, следовательно, OB = OC. Тогда треугольник BOC - равнобедренный. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, ∠OBC = ∠OCB. 3. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда в треугольнике BOC: ∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180° ∠OBC + ∠OCB = 180° - ∠BOC ∠OBC + ∠OCB = 180° - 40° ∠OBC + ∠OCB = 140° 4. Так как ∠OBC = ∠OCB, то ∠OBC = 140° / 2 = 70° 5. Так как OD - радиус, то OD = OB, и треугольник OBD - равнобедренный. Следовательно, ∠OBD = ∠ODB. 6. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то в треугольнике OBD: ∠OBD + ∠ODB + ∠BOD = 180° 7. ∠BOD - центральный угол, опирающийся на дугу BD. ∠BOC - центральный угол, опирающийся на дугу BC. По рисунку видно, что ∠BOD + ∠BOC = 180°, так как CD - диаметр. Следовательно, ∠BOD = 180° - ∠BOC = 180° - 40° = 140° 8. В треугольнике OBD: ∠OBD + ∠ODB + ∠BOD = 180° ∠OBD + ∠ODB = 180° - ∠BOD ∠OBD + ∠ODB = 180° - 140° ∠OBD + ∠ODB = 40° 9. Так как ∠OBD = ∠ODB, то ∠OBD = 40° / 2 = 20° Ответ: ∠OBD = 20°