На продолжении стороны АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что AD = АС и точка А находится между точками В и D. Найдите величину угла ADC если угол АВС равен 32°.

Решение:

Дано:

Треугольник \( ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \).

\( ∠ ABC = 32° \).

Точка \( D \) на продолжении \( AB \) так, что \( AD = AC \).

\( A \) находится между \( B \) и \( D \).

Найти: \( ∠ ADC \).

Решение:

1. Так как \( ∠ ABC = 32° \) и \( △ ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то углы при основании равны: \( ∠ BAC = ∠ BCA = (180° - 32°) / 2 = 148° / 2 = 74° \).
2. Угол \( ∠ CAD \) является внешним углом при вершине \( A \) для \( △ ABC \). Его можно найти как смежный угол с \( ∠ BAC \), или как сумму двух других углов \( △ ABC \).
3. \( ∠ CAD = 180° - ∠ BAC = 180° - 74° = 106° \).
4. По условию \( AD = AC \), значит, \( △ ADC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( DC \).
5. Углы при основании \( △ ADC \) равны: \( ∠ ADC = ∠ ACD \).
6. Сумма углов в \( △ ADC \) равна 180°. \( ∠ CAD + ∠ ADC + ∠ ACD = 180° \).
7. Подставляем известные значения: \( 106° + ∠ ADC + ∠ ADC = 180° \).
8. \( 2 ∠ ADC = 180° - 106° \)
9. \( 2 ∠ ADC = 74° \)
10. \( ∠ ADC = 37° \).

Ответ: 37