Решение:

Пусть *n* — количество точек на плоскости. Количество отрезков, которые можно провести через *n* точек, равно $$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$$. По условию, $$C_n^2 = 10$$, следовательно, $$\frac{n(n-1)}{2} = 10$$ или $$n(n-1) = 20$$. Перебором находим, что $$n = 5$$, так как $$5 \times 4 = 20$$. Итак, всего отмечено 5 точек.

Пусть *k* точек лежат в одной полуплоскости, а остальные *5 - k* точек — в другой. Количество отрезков, пересекающих прямую *p*, равно $$k(5 - k)$$. По условию, $$k(5 - k) = 6$$, то есть $$5k - k^2 = 6$$ или $$k^2 - 5k + 6 = 0$$. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ $$k_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$k_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Тогда в одной полуплоскости либо 3 точки, либо 2 точки, а в другой, соответственно, либо 2 точки, либо 3 точки.

Нам нужно найти наибольшее количество точек, принадлежащих одной из полуплоскостей. Если 2 точки в одной полуплоскости, то в другой 3 точки. Если 3 точки в одной полуплоскости, то в другой 2 точки. Значит, наибольшее количество точек, принадлежащих одной полуплоскости, равно 3.

Ответ: 3