5. На основании КМ равнобедренного треугольника КВМ отмечены точки Ти С так, что МТ=КС. Докажите, что а)треугольники МВТ и КВС равны, б) треугольник МВС – равнобедренный.

а) Докажем, что треугольники MBT и KBC равны.

В равнобедренном треугольнике KBM, KB = MB (по определению).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, ∠M = ∠K.

По условию задачи MT = KC.

Тогда треугольники MBT и KBC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. MB = KB (как стороны равнобедренного треугольника)
2. ∠M = ∠K (как углы при основании равнобедренного треугольника)
3. MT = KC (по условию)

Следовательно, ΔMBT = ΔKBC.

б) Докажем, что треугольник MBC – равнобедренный.

Так как ΔMBT = ΔKBC, то BT = BC (как соответствующие стороны равных треугольников).

Тогда треугольник BТС - равнобедренный с основанием TC (по определению).

Но это еще не значит, что треугольник MBC - равнобедренный.

Рассмотрим треугольник MBC.

Так как ΔMBT = ΔKBC, то ∠MBT = ∠KBC (как соответствующие углы равных треугольников).

∠MBK - общий угол для ∠MBT и ∠KBC.

Рассмотрим углы ∠MBC и ∠KBT:

∠MBC = ∠MBK - ∠KBC

∠KBT = ∠MBK - ∠MBT

Так как ∠MBT = ∠KBC, то ∠MBC = ∠KBT.

Так как KB = MB и MT = KC, то KB - KC = MB - MT, значит, BC = BT.

Таким образом, треугольник MBC - равнобедренный, так как MB = BC.

Ответ: а) ΔMBT = ΔKBC; б) треугольник MBC – равнобедренный.