5. На основании КМ равнобедренного треугольника КВМ отмечены точки С и Т так, что КС-МТ. Докажите, что а) треугольники КВС и МВТ равны, б) треугольник СВМ – равнобедренный

5. Дано: треугольник KBM - равнобедренный (KB = MB), KC = MT, C лежит на KM, T лежит на KM.

Доказать: a) ΔKBC = ΔMBT, б) ΔCBM - равнобедренный.

Доказательство:

a) Так как треугольник KBM равнобедренный, то углы при основании KM равны: ∠K = ∠M.

Рассмотрим треугольники KBC и MBT:

• KB = MB (как боковые стороны равнобедренного треугольника KBM).
• ∠K = ∠M (как углы при основании равнобедренного треугольника KBM).
• KC = MT (по условию).

Следовательно, треугольники KBC и MBT равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Так как KC = MT, то KM = KC + CT + TM = CT + 2KC, а также KM = KC + CM = KT + MT, => CM = KT.

Так как ΔKBC = ΔMBT, то BC = BT.

Рассмотрим треугольники KBT и MBC:

• ∠K = ∠M
• KT = CM
• BK = BM

Следовательно ΔKBT = ΔMBC, => ∠BTM = ∠BCM.

Рассмотрим треугольник CBT:

• BC = BT, следовательно углы при основании CT равны: ∠BCT = ∠BTC

∠BCM = ∠BCT + ∠TCM; ∠BTM = ∠BTC + ∠CTM

Учитывая, что углы ∠BTC = ∠BCT, а ∠BTM = ∠BCM, следует, что ∠CTM = ∠TCM.

Значит треугольник СТМ - равнобедренный.

Ответ: Доказано, что ΔKBC = ΔMBT и ΔCBM - равнобедренный.