На окружности отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС=24, ВС=45. Найдите радиус окружности.

Решение:

Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, угол \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Таким образом, треугольник \( \triangle ACB \) — прямоугольный с гипотенузой \( AB \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \( \triangle ACB \) имеем:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 24^2 + 45^2 \]

\[ AB^2 = 576 + 2025 \]

\[ AB^2 = 2601 \]

Теперь найдём длину гипотенузы \( AB \) — диаметр окружности:

\[ AB = \sqrt{2601} \]

Чтобы извлечь корень из 2601, можно заметить, что \( 50^2 = 2500 \) и \( 51^2 = (50+1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601 \). Следовательно, \( AB = 51 \text{ см} \).

Радиус окружности — это половина её диаметра:

\[ R = \frac{AB}{2} = \frac{51 \text{ см}}{2} = 25.5 \text{ см} \]

Ответ: 25.5 см.