127 На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что пятеро из них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четверых знакомых среди собравшихся?

Пусть всего было n ученых. Построим граф, где вершины соответствуют ученым, а ребра - знакомству. Тогда 5 вершин имеют степень 3, а остальные (n-5) вершин имеют степень 4.

Сумма степеней всех вершин равна 5 * 3 + (n - 5) * 4 = 15 + 4n - 20 = 4n - 5.

Сумма степеней всех вершин должна быть четным числом (удвоенное число ребер). Следовательно, 4n - 5 должно быть четным.

4n всегда четное, поэтому 4n - 5 будет нечетным. Противоречие.

Ответ: Нет, не могло.