5.18.3. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольный треугольник (см. рис). Можно ли разрезать его на 4 части (треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник) со всеми вершинами в узлах сетки так, чтобы все многоугольники имели равные площади?

Ответ: Да, можно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, изображенный на клетчатой бумаге. Предположим, что катеты этого треугольника равны 4 и 6 клеткам соответственно. Тогда площадь этого треугольника равна:

\[S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12 \text{ квадратных клеток}\]

Если мы хотим разделить этот треугольник на 4 части с равными площадями, каждая часть должна иметь площадь:

\[\frac{12}{4} = 3 \text{ квадратных клетки}\]

Один из возможных вариантов разрезания:

1. Треугольник с площадью 3 квадратных клетки.
2. Четырёхугольник с площадью 3 квадратных клетки.
3. Пятиугольник с площадью 3 квадратных клетки.
4. Шестиугольник с площадью 3 квадратных клетки.

Пример разрезания:

1. Провести разрез так, чтобы отделить от прямоугольного треугольника маленький треугольник с площадью 3 квадратных клетки.
2. Оставшуюся часть разделить на четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник, каждый из которых также имеет площадь 3 квадратных клетки.

Примеры фигур, которые можно использовать:

• Треугольник: прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 (площадь = 3).
• Четырёхугольник: можно разделить оставшуюся часть треугольника на несколько четырёхугольников, чтобы получить фигуру с площадью 3.
• Пятиугольник и шестиугольник: аналогично, можно разделить оставшуюся часть на фигуры с нужным количеством сторон и площадью.

Ответ: Да, можно.